En esta tercera lista de problemas, clasificaremos finalmente el espacio $latex (L^p)^*$. Utilizaremos los resultados probados en la primera y la segunda parte.
Si $latex p$ y $latex q$ son exponentes duales, consideramos la función $latex \phi: L^q(X,\mu) \to (L^p(X,\mu))^*$ dada por $latex g \mapsto \phi_g$, donde
para $latex f\in L^p(X,d\mu)$. El hecho que $latex \phi_g$ es un funcional en $latex L^p$ es una conclusión directa del teorema 1 de la primera parte. Como la norma $latex ||\phi_g|| = ||g||_q$, el mapeo $latex \phi$ es inyectivo, por lo que si fuese sobreyectivo, entonces sería un isomorfismo entre $latex L^q$ y $latex (L^p)^*$. Esto es el contenido del siguiente teorema.
Teorema. Sean $latex p$ y $latex q$ tales que $latex \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1$. Si $latex 1 < p < \infty$, $latex \phi: L^q\to (L^p)^*$ es sobreyectivo y entonces $latex L^q$ es isométricamente isomorfo a $latex (L^p)^*$. Si $latex \mu$ es $latex \sigma$-finita, entonces el resultado también es válido para $latex p=1$.
Demostración: Sea $latex \phi\in (L^p)^*$. Tenemos que mostrar que existe $latex g\in L^q$ tal que $latex \phi = \phi_g$.
Primero suponemos que $latex \mu$ es finita.
Problema 1. Muestra que la función $latex E \mapsto \phi(\chi_E)$, donde $latex E\subset X$ es medible y $latex \chi_E$ es la función característica de $latex E$, es una medida compleja.
Problema 2. Si $latex \nu$ es la medida del problema anterior, muestra que $latex \nu \ll \mu$.
Por el teorema de Radon-Nikodym, existe $latex g\in L^1$ tal que $latex d\nu = g d\mu$.
Problema 3. Muestra que $latex g\in L^q$ y $latex \phi(f) = \int fg d\mu$ para toda $latex f \in L^p$.
Suponemos ahora que $latex \mu$ es $latex \sigma$-finita, y sea $latex (E_n)$ una sucesión creciente de subconjuntos de $latex X$ tales que $latex 0 < \mu(E_n) < \infty$ y $latex \bigcup_n E_n = X$.
Problema 4. Muestra que existen $latex g_n \in L^q(E_n)$ tales que $latex \phi(f) = \int fg_n$ para $latex f\in L^p(E_n)$.
Definimos que $latex g$ en $latex X$ como $latex g(x) = g_n(x)$ si $latex x\in E_n$.
Problema 5. Muestra que $latex g$ está bien definida y que $latex g\in L^q$.
Problema 6. Muestra que $latex \phi(f) = \int fg d\mu$ para toda $latex f\in L^p$.
Finalmente. para $latex \mu$ una medida arbitaria, suponemos que $latex p>1$.
Problema 7. Muestra que, para cada subconjunto $latex E\subset X$ $latex \sigma$-finito, existe $latex g_E\in L^q(E)$ tal que $latex \phi(f) = \int f g_E d\mu$ para toda $latex f\in L^p(E)$
Problema 8. Muestra que, si $latex E\subset F\subset X$ son $latex \sigma$-finitos, entonces $latex ||g_F||_q \ge ||g_E||_q$.
Define $latex M = \sup \{ ||g_E||_q : E\subset X \text{ es } \sigma\text{-finito} \}$.
Problema 9. Muestra que $latex M \le ||\phi||$.
Problema 10. Sea $latex (E_n)$ una sucesión tal que $latex ||g_{E_n}||_q \to M$, y sea $latex F = \bigcup_n E_n$. Muestra que $latex F$ es $latex \sigma$-finito y que $latex ||g_F||_q = M$.
Problema 11. Muestra que, si $latex G\subset X$ es $latex \sigma$-finito y $latex G\supset F$, entonces $latex g_{G\setminus F} = 0$ y $latex g_G = g_F$ (en casi todos lados).
Problema 12. Muestra que $latex \phi(f) = \int f g_F d\mu$ para toda $latex f\in L^p$.
Problema 13. Explica cómo fueron utilizadas las hipótesis $latex p < \infty$ y $latex p > 1$ (esta última a partir del problema 7).
El espacio $latex (L^p)^*$
Si $latex p$ y $latex q$ son exponentes duales, consideramos la función $latex \phi: L^q(X,\mu) \to (L^p(X,\mu))^*$ dada por $latex g \mapsto \phi_g$, donde
$latex \displaystyle \phi_g(f) = \int fg d\mu$
para $latex f\in L^p(X,d\mu)$. El hecho que $latex \phi_g$ es un funcional en $latex L^p$ es una conclusión directa del teorema 1 de la primera parte. Como la norma $latex ||\phi_g|| = ||g||_q$, el mapeo $latex \phi$ es inyectivo, por lo que si fuese sobreyectivo, entonces sería un isomorfismo entre $latex L^q$ y $latex (L^p)^*$. Esto es el contenido del siguiente teorema.
Teorema. Sean $latex p$ y $latex q$ tales que $latex \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1$. Si $latex 1 < p < \infty$, $latex \phi: L^q\to (L^p)^*$ es sobreyectivo y entonces $latex L^q$ es isométricamente isomorfo a $latex (L^p)^*$. Si $latex \mu$ es $latex \sigma$-finita, entonces el resultado también es válido para $latex p=1$.
Demostración: Sea $latex \phi\in (L^p)^*$. Tenemos que mostrar que existe $latex g\in L^q$ tal que $latex \phi = \phi_g$.
Primero suponemos que $latex \mu$ es finita.
Problema 1. Muestra que la función $latex E \mapsto \phi(\chi_E)$, donde $latex E\subset X$ es medible y $latex \chi_E$ es la función característica de $latex E$, es una medida compleja.
Problema 2. Si $latex \nu$ es la medida del problema anterior, muestra que $latex \nu \ll \mu$.
Por el teorema de Radon-Nikodym, existe $latex g\in L^1$ tal que $latex d\nu = g d\mu$.
Problema 3. Muestra que $latex g\in L^q$ y $latex \phi(f) = \int fg d\mu$ para toda $latex f \in L^p$.
Suponemos ahora que $latex \mu$ es $latex \sigma$-finita, y sea $latex (E_n)$ una sucesión creciente de subconjuntos de $latex X$ tales que $latex 0 < \mu(E_n) < \infty$ y $latex \bigcup_n E_n = X$.
Problema 4. Muestra que existen $latex g_n \in L^q(E_n)$ tales que $latex \phi(f) = \int fg_n$ para $latex f\in L^p(E_n)$.
Definimos que $latex g$ en $latex X$ como $latex g(x) = g_n(x)$ si $latex x\in E_n$.
Problema 5. Muestra que $latex g$ está bien definida y que $latex g\in L^q$.
Problema 6. Muestra que $latex \phi(f) = \int fg d\mu$ para toda $latex f\in L^p$.
Finalmente. para $latex \mu$ una medida arbitaria, suponemos que $latex p>1$.
Problema 7. Muestra que, para cada subconjunto $latex E\subset X$ $latex \sigma$-finito, existe $latex g_E\in L^q(E)$ tal que $latex \phi(f) = \int f g_E d\mu$ para toda $latex f\in L^p(E)$
Problema 8. Muestra que, si $latex E\subset F\subset X$ son $latex \sigma$-finitos, entonces $latex ||g_F||_q \ge ||g_E||_q$.
Define $latex M = \sup \{ ||g_E||_q : E\subset X \text{ es } \sigma\text{-finito} \}$.
Problema 9. Muestra que $latex M \le ||\phi||$.
Problema 10. Sea $latex (E_n)$ una sucesión tal que $latex ||g_{E_n}||_q \to M$, y sea $latex F = \bigcup_n E_n$. Muestra que $latex F$ es $latex \sigma$-finito y que $latex ||g_F||_q = M$.
Problema 11. Muestra que, si $latex G\subset X$ es $latex \sigma$-finito y $latex G\supset F$, entonces $latex g_{G\setminus F} = 0$ y $latex g_G = g_F$ (en casi todos lados).
Problema 12. Muestra que $latex \phi(f) = \int f g_F d\mu$ para toda $latex f\in L^p$.
$latex \Box$
Problema 13. Explica cómo fueron utilizadas las hipótesis $latex p < \infty$ y $latex p > 1$ (esta última a partir del problema 7).
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