A petición popular, tenemos aquí la segunda lista de problemas referentes al análisis del espacio dual de $latex L^p$. El principial ingrediente en la clasificación de $latex (L^p)^*$ es el teorema de Radon-Nikodym, por lo que dedicaremos esta segunda lista a la demostración de este teorema.
Sea $latex (X,\Omega)$ un espacio medible. Una medida compleja es una función $latex \nu:\Omega\to\mathbb C$ tal que $latex \nu(\emptyset) = 0$ y, para cualquier sucesión $latex (A_n)$ de conjuntos disjuntos en $latex \Omega$,
donde la serie de la derecha converge absolutamente.
En particular, notamos que las medidas complejas son finitas, ya que sólo toma valores en $latex \mathbb C$ (a diferencia de las medidas estudiadas en clase, que toman valores en $latex [0,\infty]$.
Problema 1. Sea $latex f\in L^1(X,\mu)$, donde $latex \mu$ es una medida en $latex X$. Muestra que $latex A \mapsto \int_A f d\mu$ es una medida compleja.
Definición. Decimos que la medida compleja $latex \nu$ es absolutamente continua con respecto a la medida $latex \mu$, y escribimos $latex \nu \ll \mu$, si $latex \nu(A) = 0$ para todo $latex A\in\Omega$ tal que $latex \mu(A)=0$.
Problema 2. Muestra que $latex \nu \ll \mu$ si, y sólo si, para todo $latex \varepsilon >0$ existe $latex \delta >0$ tal que, si $latex \mu(A) < \delta$, entonces $latex |\nu(A)|<\varepsilon$.
Problema 3. Muestra que la medida compleja $latex A\mapsto \int_A fd\mu$ del Problema 1 es absolutamente continua con respecto a $latex \mu$.
El objetivo es mostrar el siguiente teorema.
Teorema (Radon-Nikodym). Sea $latex \nu$ una medida compleja y $latex \mu$ una medida $latex \sigma$-finita en el espacio $latex (X,\Omega)$. Si $latex \nu\ll\mu$, entonces existe $latex f\in L^1(X,\mu)$ tal que $latex \nu(A) = \int_A f d\mu$ para todo $latex A\in\Omega$.
Escribiremos la relación $latex \nu(A) = \int_A f d\mu$ para todo $latex A\in\Omega$ como $latex d\nu = f d\mu$.
Demostración: Asumimos primero que $latex \nu$ es positiva y $latex \mu$ es finita. Define
Problema 4. Muestra que $latex \mathcal F\not=\emptyset$ y, si $latex f,g\in\mathcal F$, entonces $latex h=\max(f,g)\in\mathcal F$.
Problema 5. Sea $latex M = \sup \{\int f d\mu : f\in\mathcal F\}$, y $latex f_n$ una sucesión en $latex \mathcal F$ tal que $latex \int f_n d\mu \to M$. Muestra que $latex f = \sup_n f_n \in\mathcal F$ y $latex \int f d\mu = M$.
Problema 6. Muestra que $latex \nu(E) - \int_E f d\mu = 0$ para todo $latex E\in\Omega$, y por lo tanto $latex d\nu = f d\mu$. (Sugerencia: Supón que $latex \nu(E) - \int_E f d\mu > \varepsilon \mu(E)$, y considera la función $latex g = f + \varepsilon \chi_E$ y la definición de $latex M$.)
Asumimos ahora que $latex \mu$ es $latex \sigma$-finita, pero seguimos tomando $latex \nu$ positiva.
Problema 7. Considera la unión $latex X = \bigcup_n A_n$ con $latex A_n$ disjuntos y tales que $latex \mu(A_n) < \infty$. Define las medidas $latex \mu_n,\nu_n$ como
para todo $latex E\in\Omega$. Muestra que $latex d\nu_n = f_n d\mu_n$ para cada $latex n$, donde $latex f_n:X\to[0,\infty]$ es cero en $latex X\setminus A_n$.
Problema 8. Define $latex f = \sum_n f_n$. Muestra que $latex d\nu = f d\mu$.
Problema 9. Utiliza el teorema de descomposición de Jordan (Folland, 3.4) para extender al caso cuando la medida $latex \nu$ toma valores reales.
Problema 10. Considera que $latex \nu = \Re(\nu) + i \Im(\nu)$ para extender al caso general, cuando $latex \nu$ es compleja.
El teorema de Radon-Nikodym
Sea $latex (X,\Omega)$ un espacio medible. Una medida compleja es una función $latex \nu:\Omega\to\mathbb C$ tal que $latex \nu(\emptyset) = 0$ y, para cualquier sucesión $latex (A_n)$ de conjuntos disjuntos en $latex \Omega$,
$latex \displaystyle\nu\Big( \bigcup_n A_n \Big) = \sum_n \nu(A_n),$
donde la serie de la derecha converge absolutamente.
En particular, notamos que las medidas complejas son finitas, ya que sólo toma valores en $latex \mathbb C$ (a diferencia de las medidas estudiadas en clase, que toman valores en $latex [0,\infty]$.
Problema 1. Sea $latex f\in L^1(X,\mu)$, donde $latex \mu$ es una medida en $latex X$. Muestra que $latex A \mapsto \int_A f d\mu$ es una medida compleja.
Definición. Decimos que la medida compleja $latex \nu$ es absolutamente continua con respecto a la medida $latex \mu$, y escribimos $latex \nu \ll \mu$, si $latex \nu(A) = 0$ para todo $latex A\in\Omega$ tal que $latex \mu(A)=0$.
Problema 2. Muestra que $latex \nu \ll \mu$ si, y sólo si, para todo $latex \varepsilon >0$ existe $latex \delta >0$ tal que, si $latex \mu(A) < \delta$, entonces $latex |\nu(A)|<\varepsilon$.
Problema 3. Muestra que la medida compleja $latex A\mapsto \int_A fd\mu$ del Problema 1 es absolutamente continua con respecto a $latex \mu$.
El objetivo es mostrar el siguiente teorema.
Teorema (Radon-Nikodym). Sea $latex \nu$ una medida compleja y $latex \mu$ una medida $latex \sigma$-finita en el espacio $latex (X,\Omega)$. Si $latex \nu\ll\mu$, entonces existe $latex f\in L^1(X,\mu)$ tal que $latex \nu(A) = \int_A f d\mu$ para todo $latex A\in\Omega$.
Escribiremos la relación $latex \nu(A) = \int_A f d\mu$ para todo $latex A\in\Omega$ como $latex d\nu = f d\mu$.
Demostración: Asumimos primero que $latex \nu$ es positiva y $latex \mu$ es finita. Define
$latex \displaystyle \mathcal F = \Big\{ f: X\to[0,\infty] \Big| \int_E f d\mu \le \nu(E) \text{ para todo } E\in\Omega \Big\}.$
Problema 4. Muestra que $latex \mathcal F\not=\emptyset$ y, si $latex f,g\in\mathcal F$, entonces $latex h=\max(f,g)\in\mathcal F$.
Problema 5. Sea $latex M = \sup \{\int f d\mu : f\in\mathcal F\}$, y $latex f_n$ una sucesión en $latex \mathcal F$ tal que $latex \int f_n d\mu \to M$. Muestra que $latex f = \sup_n f_n \in\mathcal F$ y $latex \int f d\mu = M$.
Problema 6. Muestra que $latex \nu(E) - \int_E f d\mu = 0$ para todo $latex E\in\Omega$, y por lo tanto $latex d\nu = f d\mu$. (Sugerencia: Supón que $latex \nu(E) - \int_E f d\mu > \varepsilon \mu(E)$, y considera la función $latex g = f + \varepsilon \chi_E$ y la definición de $latex M$.)
Asumimos ahora que $latex \mu$ es $latex \sigma$-finita, pero seguimos tomando $latex \nu$ positiva.
Problema 7. Considera la unión $latex X = \bigcup_n A_n$ con $latex A_n$ disjuntos y tales que $latex \mu(A_n) < \infty$. Define las medidas $latex \mu_n,\nu_n$ como
$latex \mu_n(E) = \mu(E\cap A_n), \qquad \nu_n(E) = \nu(E\cap A_n)$
para todo $latex E\in\Omega$. Muestra que $latex d\nu_n = f_n d\mu_n$ para cada $latex n$, donde $latex f_n:X\to[0,\infty]$ es cero en $latex X\setminus A_n$.
Problema 8. Define $latex f = \sum_n f_n$. Muestra que $latex d\nu = f d\mu$.
Problema 9. Utiliza el teorema de descomposición de Jordan (Folland, 3.4) para extender al caso cuando la medida $latex \nu$ toma valores reales.
Problema 10. Considera que $latex \nu = \Re(\nu) + i \Im(\nu)$ para extender al caso general, cuando $latex \nu$ es compleja.
[...] En esta tercera lista de problemas, clasificaremos finalmente el espacio . Utilizaremos los resultados probados en la primera y la segunda parte. [...]
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