Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 4 de marzo Problema 1 ¿Cuántos subconjuntos de {1, 2, 3, ..., n} no contienen dos enteros consecutivos? Problema 2 Muestra que $latex F_{3n}$ es par. Muestra que $latex F_{5n}$ es divisible entre 5. Problema 3 Muestra las siguientes identidades. $latex F_1 + F_3 + \ldots + F_{2n-1} = F_{2n}$ $latex F_0^2 + F_1^2 + F_2^2 + \ldots + F_n^2 = F_n\cdot F_{n+1}$ $latex \displaystyle \binom{n}{0}F_0 + \binom{n}{1}F_1 + \binom{n}{2}F_2 + \ldots + \binom{n}{n}F_n = F_{2n}$ $latex \displaystyle \binom{n}{0}F_1 + \binom{n}{1}F_2 + \binom{n}{2}F_3 + \ldots + \binom{n}{n}F_{n+1} = F_{2n+1}$ Problema 4 Los números de Lucas $latex L_0, L_1, L_2, L_3, \ldots$ satisfacen la ecuación de recurrencia $latex L_n = L_{n-1} + L_{n-2}$ con términos iniciales $latex L_0 = 2, L_1 = 1$. Muestra que $latex L_n = F_{n-1} + F_{n+1}$ para $latex n\ge1$. Encuentra una fórmula explícita para $latex L_n$. Problema 5 Resuelve las siguientes ecuaciones de recurrencia. $latex x_n = x_{n...

Fecha de entrega: 26 de febrero Problema 1 Muestra que, si los eventos A y B son excluyentes, entonces $latex P(A) + P(B) = P(A\cup B).$ Muestra que, para cualquiera dos eventos A y B , $latex P(A\cap B) + P(A\cup B) = P(A) + P(B).$ Problema 2 Al tirar un dado, considera los eventos P = "par",  I = "impar",  T = "múltiplo de 3" y  G = "más grande que 3". ¿Cuáles parejas de estos eventos son independientes? ¿Cuáles son excluyentes? Problema 3 Muestra que $latex \emptyset$ es independiente de cualquier otro evento. ¿Existe otro evento así? Problema 4 Considera un experimento  S que se repite  n veces ($latex n\ge 2$), y sea $latex s\in S$. Si  A es el evento que  s sale primero, y  B es el evento que  s sale al final, muestra que  A y  B son independientes. Problema 5 Sea  S = {1, 2, ..., 100} y seleccionamos un subconjunto  X al azar uniformemente, de tal forma que cualquier subconjunto tiene la misma probabilidad de ser selec...

Fecha de entrega: 19 de febrero Problema 1 Demuestra la identidad $latex \displaystyle\binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \binom{n}{3} +\cdots + (-1)^n\binom{n}{n} = 0$ utilizando el principio de inclusión-exclusión. Problema 2 ¿De cuántas formas puedes acodomodar 8 torres (iguales) en un tablero de ajedrez de tal forma que no se ataquen entre sí? Responde la pregunta anterior, pero si tenemos 4 torres blancas y 4 torres negras. Repite la pregunta, pero en el caso en que las 8 torres son distintas. Problema 3 Las palabras ERRATA y BARBAS tienen el mismo número de anagramas, porque tienen el mismo número de letras con las mismas repeticiones (6 = 2 + 2+ 1 + 1). En ese caso decimos que las palabras son "esencialmente iguales". Por ejemplo, SANTAS es esencialmente igual a ellas, también, pero HERRAJE no lo es (también tiene dos pares de letras repetidas, pero tiene 7 en total). Si dos palabras no son esencialmente iguales, entonces son "esencialmente distinta...

Fecha de entrega: 12 de febrero Problema 1 n niños y  n niñas salen a bailar en parejas, ¿de cuántas formas pueden hacerlo? (Solo parejas niño-niña.) Problema 2 Demuestra con un argumento combinatórico que $latex \displaystyle  \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} = \binom{n}{k}.$ Problema 3 Demuestra combinatóricamente que $latex \displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}.$ Problema 4 Ana tiene 10 pelotas. Primero, las separa en dos grupos (no necesariamente del mismo tamaño). En seguida, toma uno de los dos grupos, que tenga al menos dos pelotas, y lo separa en dos grupos. Así continúa separando cada grupo en dos, hasta que termina con puros grupos de una pelota. ¿Cuántos pasos le toma hacer esto? Muestra que el número de formas distintas en que puede hacer este proceso es $latex \displaystyle \binom{10}{2}\cdot\binom{9}{2}\cdots\binom{2}{2}.$ Problema 5 De un grupo de estudiantes, a 23 de ellas les gusta jugar futbol, a 18 les gusta jugar ajedrez, a 21 andar en bici...