Ricardo A. Sáenz

Due June 1 Problem 1 Let $latex f:[0,1]\to\R$ satisfy a Hölder condition of exponent $latex \gamma > 1$. Then  f is constant. Is $latex f:[0,1]\to[0,1]\times[0,1]$ is a surjective Hölder function of exponent $latex \gamma$, then $latex \gamma \le 1/2$. (Prove directly, without using Lemma 2.2 from the text.) Problem 2 Let $latex K\subset\R$ be the set $latex \displaystyle K = \Big\{ \sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{4^k} \in\R : a_k=0\text{ or }2\Big\}$. Then $latex \dim K = 1/2$ and $latex 0 < \mathscr H^{1/2}(K) < \infty$. Problem 3 Let $latex 2N+1$ be an odd integer and consider the "middle $latex 1/(2N+1)$th" set  K , that is, the result of the Cantor process when removing the middle interval of length $latex 1/(2N+1)$ of the previous interval. Calculate $latex \dim K$ Prove that for any $latex 0 < \alpha < 1$, there exists a totally disconnected perfect set in $latex \R$ whose dimension is larger then $latex \alpha$. Problem 4 There exists a Cantor-lik...

Fecha de entrega: 1 de junio Problema 1 Muestra que, en un diseño de bloques, la hipótesis que cada individuo pertenece al mismo número de bloques es superflua; es decir, se sigue del resto de las hipótesis. Problema 2 Encuentra cinco números $latex v, b, k, r, \lambda$ que satisfagan las ecuaciones vistas en clase, pero $latex b<v$. Para cada $latex v>1$, construye un diseño de bloques con $latex b=v$. Problema 3 Muestra que el plano de Fano es el único sistema de Steiner con $latex v=7$. Problema 4 Supón que un sistema de Steiner tiene un subconjunto  S  de $latex (v-1)/2$ individuos tales que forman un sistema de Steiner por sí mismos considerando los bloques que pertenecen a  S . Muestra que  S es una muestra representativa de clubes. Problema 5 Muestra que el plano de Fano y $latex \mathbb F_3^2$ pueden ser coloreados con 3 colores, tal que cada bloque usa al menos dos colores (aunque no necesariamente los tres de ellos). Problema 6 ¿Cuántos cuadrados latinos hay de $...

Due May 25 Problem 1 Suppose $latex \tau$ is measure-preserving, with $latex \mu(X) = 1$. If  E is invariant, then there exists a set  E' so that $latex E' = \tau^{-1}(E')$, and  E and  E' differ by a set of measure zero. Problem 2 Let $latex \tau$ be measure-preserving, with $latex \mu(X)=1$. Then $latex \tau$ is ergodic if and only if whenever $latex \nu$ is absolutely continuous with respect to $latex \mu$ and $latex \nu$ is invariant (that is $latex \nu(\tau^{-1}(E) = \nu(E)$ for all measurable  E ), then $latex \nu = c\mu$), then $latex \nu = c\mu$ for some constant  c . Problem 3 The Hausdorff measure $latex \mathscr H^\alpha$ is not $latex \sigma$-finite on $latex \R^d$ if $latex \alpha < d$. Problem 4 Let $latex \{E_k\}$ be a sequence of Borel sets in $latex \R^d$. If $latex \dim E_k\le\alpha$ for all  k , then $latex \displaystyle \dim \bigcup E_k \le \alpha$.

Fecha de entrega: 25 de mayo Problema 1 Sea  G el grafo cuyos vértices corresponden a las aristas de $latex K_5$, y en el cual son adyacentes si dichas aristas tienen un vértice en común. Calcula el número cromático de  G .  Problema 2 Muestra que las regiones formadas por rectas en el plano son 2-coloreables. Muestra que las regiones formadas por una curva cerrada en el plano (que posiblemente se interseca a sí misma) son 2-coloreables. Problema 3 Da un ejemplo de un mapa, con países no necesarimente conexos, que no sea 100-colorable. Problema 4 Si cada cara de un mapa planar tiene un número par de aristas, entonces el grafo es bipartito. Si cada vértice de un mapa planar tiene grado par, entonces las caras son 2-coloreables. Problema 5 Considera el plano de Fano  $latex \mathcal F$ visto en clase. Representa cada recta en el plano de Fano por un punto, y cada punto x  de $latex \mathcal F$ como una recta que contiene, como puntos, a las rectas en $latex \mathcal F$ que pas...

Due May 18 Problem 1 The purpose of the following exercises is to prove the following statement:  If $latex \mu$ is a translation-invariant Borel measure on $latex \R^d$ that is finite on compact sets, then $latex \mu$ is a multiple of Lebesgue measure. Let $latex Q_r$ be a translate of the cube $latex \{x\in\R^d: 0 < x_j \le r, j=1,\ldots,d\}.$ If $latex \mu(Q_1) = c$, then $latex \mu(Q_{1/n}) = c/n^d$ for each integer  n . $latex \mu$ is absolutely continuous with respect to  m , and there is a locally integrable function  f such that $latex \displaystyle \mu(E) = \int_E f dx.$ By the differentiation theorem, is follows that $latex f(x) = c$ a.e., and hence $latex \mu = cm$. Problem 2 Suppose $latex \nu, \nu_1, \nu_2$ are signed measures on $latex (X,\mathscr M)$ and $latex \mu$ a positive measure. If $latex \nu_1\perp\mu$ and $latex \nu_2\perp\mu$, then $latex \nu_1+\nu_2 \perp \mu$. If $latex \nu_1\ll \mu$ and $latex \nu_2\ll\mu$, then $latex \nu_1 + \nu_2 \ll\mu$. ...

Fecha de entrega: 18 de mayo Problema 1 ¿Es planar el grafo que resulta de eliminar una arista de $latex K_5$? ¿Es planar el complemento de un ciclo de longitud 6? ¿Es planar el grafo que resulta de agregar a un hexágono sus tres diagonales principales? Problema 2 Supón que queremos unir tres casas a tres pozos. ¿Es posible hacerlo sin que los caminos se crucen? Problema 3 Muestra que un grafo planar bipartito, con n vértices, puede tener a lo más 2 n -4 aristas. Problema 4 Muestra que un polihedro convexo, que solo tiene caras pentagonales y hexagonales, debe tener exactamente 12 caras pentagonales. Problema 5 Muestra que los siguientes grafos no son 3-coloreables. Problema 6 Considera  n  rectas genéricas en el plano, y considera el grafo formado por sus puntos de intersección y los segmentos de recta entre ellos. Muestra que este grafo es 3-coloreable. Problema 7 Muestra el corolario visto en clase:  si G es un grafo tal que cada subgrafo de G tiene al menos un vértice de gra...

Due May 11 Problem 1 Let $latex \rho:\R^d\to\R^d$ be a rotation. Then it induces a measure-preserving map of the sphere $latex \mathbb S^{d-1}$ with its measure $latex \sigma$. Problem 2 Use the polar coordinate formula to prove the following statements. $latex \displaystyle \int_{\R^2} e^{-\pi |x|^2} dx = 1$ $latex \displaystyle \int_{\R^d} e^{-\pi |x|^2} dx = 1$ for any  d . $latex \sigma(\mathbb S^{d-1}) = \dfrac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)}$. $latex \displaystyle m(\mathbb B^d) = \frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2+1)}.$ Problem 3 If $latex \mu$ is a finite Borel measure on the interval $latex [a,b]$, then $latex \displaystyle f\mapsto l(f) = \int_a^b f d\mu$ is a linear functional on $latex C([a,b])$, positive in the sense that $latex l(f)\ge 0$ if $latex f\ge 0$. Conversely, if  l is a positive linear functional on $latex C([a,b])$, there exists a unique finite Borel measure $latex \mu$ on $latex [a,b]$ such that $latex l(f) = \int f d\mu$ for every $latex f\in C([a,b])$.

Fecha de entrega: 11 de mayo Problema 1 ¿Es planar el grafo que resulta de eliminar una arista de $latex K_5$? ¿Es planar el complemento de un ciclo de longitud 6? ¿Es planar el grafo que resulta de agregar a un hexágono sus tres diagonales principales? Problema 2 Supón que queremos unir tres casas a tres pozos. ¿Es posible hacerlo sin que los caminos se crucen? Problema 3 Muestra que un grafo planar bipartito, con n vértices, puede tener a lo más 2 n -4 aristas. Problema 4 Muestra que un polihedro convexo, que solo tiene caras pentagonales y hexagonales, debe tener exactamente 12 caras pentagonales.