Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 28 de abril Problema 1 Sea $latex U = \gen\Bigg\{ \begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3\\1\\2\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\2\\2\\0\end{pmatrix}\Bigg\}$. Para cada uno de los siguientes vectores  v , obtén la proyección ortogonal de  v sobre  U con dos métodos: primero, usando una base ortonormal de  U , y, segundo, usando la matrix de Gram asociada. $latex v = \begin{pmatrix}0\\2\\1\\1\end{pmatrix}$ $latex v = \begin{pmatrix}4\\0\\1\\2\end{pmatrix}$ $latex v = \begin{pmatrix}0\\1\\-1\\-1\end{pmatrix}$ Calcula, además, la matrix de la proyección con respecto a la base estándar. Problema 2 Sea  U el plano $latex x + y + z + w = 0$ en $latex \R^4$. Calcula la proyección ortogonal sobre  U de los siguientes vectores. $latex v = \begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}$ $latex v = \begin{pmatrix}1\\-2\\-1\\2\end{pmatrix}$ $latex v = \begin{pmatrix}1\\1\\0\\-1\end{pmatrix}$ Problema 3 Sea $latex f(x) = 1$, y considera el producto inter...

Fecha de entrega: 7 de abril Problema 1 Averigua si las siguientes funciones escalares son productos internos en el espacio vectorial indicado. En $latex \R^2$, $latex \langle x,y \rangle = 7x_1y_1 - 5x_1y_2 - 5x_2y_1 + 4x_2y_2$ En $latex \R^2$, $latex \langle x,y \rangle = 7x_1y_1 + 5x_1y_2 + 5x_2y_1 + x_2y_2$ En $latex \mathscr P_2$, $latex \langle p,q \rangle = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2)$ En $latex \mathscr P_3$, $latex \langle p,q \rangle = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2)$ Problema 2 Usa la ley de cosenos para mostrar que, si $latex x,y\in\R^2$, entonces $latex x\cdot y = |x| |y| \cos\theta$, donde $latex \theta$ es el ángulo entre  x y  y . Problema 3 Si  V es un espacio con producto interno real y $latex u,v\in V$, muestra que $latex \langle u,v \rangle = \dfrac{1}{4}\big( ||u+v||^2 - ||u-v||^2\big)$. Problema 4 Si  V es un espacio con producto interno complejo y $latex u,v\in V$, muestra que $latex \langle u,v \rangle = \dfrac{1}{4}\big( ||u+v||^2 - ||u-v||^2 + i||...