Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 31 de enero Problema 1 Muestra que la ecuación $|z|^2-2\Re(\bar a z) + |a|^2=\rho^2$ representa un círculo centrado en $a$ con radio $\rho$. Problema 2 Dado $a\in\mathbb C$, muestra que $|z-a|/|1-\bar a z|=1$ si $|z|=1$ y $1 - \bar a z\not=0$. Problema 3 Dado $\rho>0$, $\rho\not=1$, y dados $z_0, z_1\in\mathbb C$, muestra que el conjunto de los números $z\in\C$ que satisfacen $|z-z_0| = \rho|z-z_1|$ es un círculo si $\rho\not=1$. Dibuja un boceto para $\rho=1/2, 2$ con $z_0=0, z_1=1$. Describe qué sucede cuando $\rho=1$. Problema 4 Dibuja los siguientes conjuntos: $|\arg z|<\dfrac{\pi}{4}$ $0 < \arg (z-1-i) < \dfrac{\pi}{3}$ $|z| = \arg z$ $\log |z | = -2\arg z$ Problema 5 Dado $n\ge 1$, mostrar que las $n$-ésimas raíces de $1$, $\omega_0, \omega_1, \ldots, \omega_{n-1}$, satisfacen $latex (z-\omega_0)(z-...

El universo interconectado , por Miguel Ángel Aragón Calvo, de la Universidad de California en Riverside. Conferencia de la semana , jueves 30 de enero, 12:00 pm. Resumen:  La idea de la galaxia como un “universo isla” representó un gran avance en nuestro entendimiento de la escala del universo. Sin embargo actualmente sabemos que las galaxias forman una “red cósmica” donde todas las galaxias están interconectadas por puentes de materia. Observar y entender esta red es uno de los retos más fascinantes en cosmología y formación galáctica. En esta charla presentaré avances recientes en estas áreas así como sus aplicaciones.

Para los asistentes a mi curso Análisis en fractales en el ISAA 2014 , aquí les dejo links a las referencias bibliográficas. Para iniciar, el texto de Strichartz es esencial. Contiene explicaciones detalladas de la construcción de la estructura armónica en el triángulo de Sierpinski, la métrica de resistencia efectiva y el método de decimación. Robert Strichartz,  Differential Equations on Fractals: A Tutorial , Princeton University Press, 2006 También recomiendo el artículo original de Dalrymple, Strichartz y Vinson, con las construcciones de las funciones armónicas, las eigenfunciones de Dirichlet y soluciones a las ecuaciones de calor y onda. Kyallee Dalrymple, Robert S. Strichartz, Jade P. Vinson, Fractal differential equations on the Sierpinski gasket, J. Fourier Analysis and Applications 5  No. 2-3 (1999), 203-284 doi:10.1007/BF01261610 El texto de Kigami desarrolla la teoría abstracta en conjuntos autosimilares postcríticamente finitos. Jun Kigami, Analysis on Fractals, Cambrid...