Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 23 de marzo Problema 1 Calcula la tabla de diferencias para la sucesión $latex x_n = 2n^2-n+3$, y encuentra una fórmula para $latex \sum_{k=0}^n x_k$. Si la sucesión $latex x_n$ está determinada por un polinomio cúbico, y los primeros términos del renglón 0 de su tabla de diferencias son 1, -1, 3, 10, determina $latex x_n$ y encuentra una fórmula para $latex \sum_{k=0}^n x_k$. Encuentra la suma $latex 1^5 + 2^5 + \ldots + n^5$. Problema 2 Sea $latex A$ un conjunto con $latex n$ elementos y $latex B$ un conjuntos de $latex k$ elementos. Muestra que el número de de funciones $latex f:A\to B$ sobreyectivas es $latex k!S(n,k)$. Problema 3 Formula y demuestra el siguiente enunciado como un teorema de grafos: " En un grupo de personas existen dos de ellas que conocen al mismo número de personas cada uno ". Problema 4 Por medio de un ejemplo, muestra que si eliminamos una arista de un grafo conexo  G , el resultado puede ser un grafo disconexo. Muestra qu...

Due March 23 Problem 1 If $latex \{K_\delta\}$ is a family of better kernels, there exists a constant $latex A>0$ such that $latex \sup_{\delta>0} |f*K_\delta(x)| \le A f^*(x)$ for all $latex f\in L^1$. Problem 2 For $latex a,b>0$, let $latex \begin{cases} x^a\sin x^{-b} & 0 < x \le 1, \\ 0 & x=0.\end{cases}$ f is of bounded variation iff $latex a>b$. For each $latex 0<\alpha<1$, construct an $latex \alpha$-Hölder continuos function that is not of bounded variation. If $latex a=b=2$,  f' exists at every point but is not integrable. Problem 3 Define the  one-sided maximal function  for locally integrable functions on $latex \R$ as $latex \displaystyle f_+^*(x) = \sup_{h>0} \frac{1}{h} \int_x^{x+h} |f|.$ If $latex E_\alpha^+ = \{x\in\R: f_+^*(x)>\alpha\}$, then $latex \displaystyle m(E_\alpha^+) = \frac{1}{\alpha} \int_{E_\alpha^+} |f|.$ Problem 4 Let $latex f:\R\to\R$ be absolutely continuous. f maps sets of measure zero to sets of measu...

Due March 16 Problem 1 Consider the function on $latex \R$ given by $latex f(x) = \begin{cases}\dfrac{1}{|x|(\log |x|)^2} & |x|\le 1/2\\0 & \text{otherwise.}\end{cases}$ f is integrable. $latex f^*(x) \ge \dfrac{c}{|x|\log 1/|x|}$ for some $latex c>0$ and all $latex |x|\le 1/2$. $latex f^*$ is not locally integrable. Problem 2 Let $latex E\subset [0,1]$ be a measurable set such that there exists $latex \alpha > 0$ such that $latex m(E\cap I) \ge \alpha m(I)$ for all intervals $latex I\subset[0,1]$. Then $latex m(E)=1$. Problem 3 Let $latex F\subset\R$   be closed and $latex \delta(x)$ the distance from  x to  F . Then $latex \delta(x+y) =o(|y|)$ for almost every $latex x\in F$. Problem 4 Suppose $latex \{K_\delta\}$ is a family of kernels that satisfies $latex \displaystyle \int_\R K_\delta = 0$ for all $latex \delta>0$. For some $latex A>0$, $latex |K_\delta(x)| \le A \min\{\delta^{-d}, \delta/|x|^{d+1}\}$ for all $latex \delta > 0, x\in\R^d$. If $la...

Fecha de entrega: 16 de marzo Problema 1 Decimos que un subconjunto de $latex \{1, 2, \ldots, n\}$ es  extraordinario si satisface que su mínimo es igual a su número de elementos, o sea $latex \min S = |S|.$ Por ejemplo, $latex \{3,5,8\}$ es extraordinario. Muestra que el número de subconjuntos extraordinarios de $latex \{1, 2, \ldots, n\}$ es igual al número de Fibonacci $latex F_n$. Problema 2 Sean $latex 2n$ puntos equidistantes en un círculo, y $latex f_n$ el número de formas en que podemos unir estos puntos en pares, de tal manera que los $latex n$ segmentos no se crucen. Encuentra una fórmula recursiva para $latex f_n$. Problema 3 Muestra que el número de arreglos de $latex 2\times n$ $latex \begin{pmatrix}x_{11}& x_{12}&\ldots& x_{1n}\\x_{21}& x_{22}&\ldots& x_{2n}\end{pmatrix}$ con los números $latex 1, 2, \ldots, 2n$ de tal forma que cada renglón y cada columna es creciente, es igual a $latex C_n$. Problema 4 Determina la división en diagonales del pol...

Fecha de entrega: 9 de marzo Problema 1 Muestra que $latex F_{3n}$ es par. Muestra que $latex F_{5n}$ es divisible entre 5. Problema 2 Muestra las siguientes identidades. $latex F_1 + F_3 + \ldots + F_{2n-1} = F_{2n}$ $latex F_0^2 + F_1^2 + F_2^2 + \ldots + F_n^2 = F_n\cdot F_{n+1}$ $latex \displaystyle \binom{n}{0}F_0 + \binom{n}{1}F_1 + \binom{n}{2}F_2 + \ldots + \binom{n}{n}F_n = F_{2n}$ $latex \displaystyle \binom{n}{0}F_1 + \binom{n}{1}F_2 + \binom{n}{2}F_3 + \ldots + \binom{n}{n}F_{n+1} = F_{2n+1}$ Problema 3 ¿Cuántos subconjuntos de {1, 2, 3, ..., n} no contienen dos enteros consecutivos? Problema 4 Los números de Lucas $latex L_0, L_1, L_2, L_3, \ldots$ satisfacen la ecuación de recurrencia $latex L_n = L_{n-1} + L_{n-2}$ con términos iniciales $latex L_0 = 2, L_1 = 1$. Muestra que $latex L_n = F_{n-1} + F_{n+1}$ para $latex n\ge1$. Encuentra una fórmula explícita para $latex L_n$. Problema 5 Resuelve las siguientes ecuaciones de recurrencia. $latex x_n = x_...

Due March 9 Problem 1 Let  f be integrable, and for each $latex \alpha>0$ let $latex E_\alpha = \{x:|f(x)|>\alpha\}$. Then $latex \displaystyle \int |f| = \int_0^\infty m(E_\alpha)d\alpha.$ Problem 2 (Riemann-Lebesgue Lemma) For $latex f\in L^1(\R^d)$, let $latex \displaystyle \hat{f}(\xi) = \int_{\R^d} f(x) e^{-2\pi i x\cdot\xi} dx$ be its Fourier transform. Then $latex \hat f(\xi) \to 0$ as $latex |\xi|\to0$. Problem 3 Let $latex f,g\in L^1(\R^d)$. $latex (x,y) \mapsto f(x-y)g(y) \in L^1(\R^d\times\R^d)$. The convolution $latex \displaystyle f*g(x) = \int_{\R^d} f(x-y)g(y) dy$ is well defined for a.e.  x . $latex ||f*g||_{L^1} \le ||f||_{L^1} ||g||_{L^1}$. $latex \widehat{f*g}(\xi) = \hat f(\xi) \hat g(\xi)$. Problem 4 There does not exist $latex I\in L^1(\R^d)$ such that, for all $latex f\in L^1(\R^d)$, $latex f*I = f.$ Problem 5 Let $latex f_n\to f$ in measure. If $latex f_n\ge 0$, then $latex \displaystyle \int f \le \liminf \int f_n$ If there exists $latex g\in...