Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 2 de marzo Problema 1 Demuestra las identidades $latex \displaystyle\binom{n}{0}\binom{m}{k} + \binom{n}{1}\binom{m}{k-1} + \cdots + \binom{n}{k-1}\binom{m}{1} + \binom{n}{k}\binom{m}{0} = \binom{n+m}{k}.$ $latex \displaystyle\binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \binom{n}{3} + \cdots + (-1)^m \binom{n}{m} = (-1)^m\binom{n-1}{m}.$ $latex \displaystyle\binom{n}{0}\binom{0}{m} + \binom{n}{1}\binom{1}{m} + \binom{n}{2}\binom{2}{m} + \binom{n}{3}\binom{3}{m} + \cdots + \binom{n}{n}\binom{n}{m} = \binom{n}{m} 2^{n-m}.$ En 3, suponemos que $latex m\le n$ y, en caso que $latex k<m$, entonces $latex \displaystyle\binom{k}{m} = 0$. Problema 2 Muestra las desigualdades $latex \displaystyle \frac{n^k}{k^k} \le \binom{n}{k} \le \frac{n^k}{k!}.$ Problema 3 Muestra que $latex \displaystyle \binom{n}{10} \sim \frac{n^{10}}{10!}$. Problema 4 Muestra que, si los eventos A y B son excluyentes, entonces $latex P(A) + P(B) = P(A\cup B).$ Muestra que, para cualquiera...

Due March 2 Problem 1 Let f be integrable on $latex [0,b]$ and define, on $latex [0,b]$, $latex \displaystyle g(x) = \int_x^b \frac{f(t)}{t} dt.$ Then g is integrable on $latex [a,b]$ and $latex \displaystyle \int_0^b g(x) dx = \int_0^b f(t) dt$. Problem 2 Let $latex F\subset\R$ be a closed set such that $latex m(\R\setminus F) <\infty$, and let $latex \delta(x) = d(x,F)$ be the distance from x to F . Then $latex \delta(x)$ is a Lipschitz function. Let $latex \displaystyle I(x) = \int_\R \frac{\delta(x)}{|x-y|^2} dy.$ Then $latex I(x) = \infty$ for any $latex x\in\R\setminus F$, and $latex I(x) < \infty$ for a.e $latex x\in F$. Problem 3 There exists $latex f\in L^1(\R^d)$ and a sequence $latex f_n\in L^1(\R^d)$ such that $latex f_n\to f$ in $latex L^1$, but $latex f_n(x) \not\to f(x)$ for every x . Problem 4 Consider the function defined on $latex \R$ by $latex f(x) = \begin{cases} x^{-1/2} & 0 < x < 1,\\0 & \text{otherwise.} \end{cases}$ For a fixed enumaer...

Due February 23 Probl For any two Cantor sets $latex \mathcal C_1, \mathcal C_2$, as constructed in HW2, Problem 3, there exists a continuous, bijective and increasing function $latex F:[0,1]\to[0,1]$ that maps $latex \mathcal C_1$ surjectively onto $latex \mathcal C_2$. There exists a measurable function f and a continous function $latex \Phi$ such that $latex f\circ\Phi$ is non-measurable. Problem 2 Given a collection of sets $latex E_1, E_2, \ldots, E_n$, there exists a disjoint collection $latex F_1, F_2, \ldots, F_N$, $latex N=2^n - 1$, such that $latex \bigcup E_j = \bigcup F_k$ and each $latex \displaystyle E_j = \bigcup_{F_k\subset E_j} F_k.$ Problem 3 (Tchebychev inequality) Let $latex f\ge0$ be integrable, $latex \alpha > 0$ and $latex E_\alpha = \{x:f(x)>\alpha\}$. Then $latex \displaystyle m(E_\alpha) \le \frac{1}{\alpha}\int f.$ Problem 4 Let $latex f\ge 0$ be finite almost everywhere, $latex E_k = \{ x:f(x) > 2^k\}$ and $latex F_k = \{x: 2^k < f(x) \le ...

Fecha de entrega: 23 de febrero Problema 1 Experimenta, haz una conjetura y demuestra, tanto por inducción como combinatóricamente, el valor de la suma $latex \displaystyle 0\cdot \binom{n}{0} +1\cdot \binom{n}{1} +2\cdot \binom{n}{2} + \ldots (n-1)\cdot \binom{n}{n-1} +n\cdot \binom{n}{n}.$ Problema 2 Demuestra la identidad $latex \displaystyle\binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \binom{n}{3} +\cdots + (-1)^n\binom{n}{n} = 0$ interpretando combinatóricamente los términos positivos y negativos. Problema 3 Demuestra combinatóricamente que $latex \displaystyle\binom{n}{0} + \binom{n}{1}2 + \binom{n}{2}4 + \cdots + \binom{n}{n-1} + \binom{n}{n}2^n = 3^n.$ Problema 4 ¿De cuántas formas puedes acodomodar 8 torres (iguales) en un tablero de ajedrez de tal forma que no se ataquen entre sí? Responde la pregunta anterior, pero si tenemos 4 torres blancas y 4 torres negras. Repite la pregunta, pero en el caso en que las 8 torres son distintas. Problema 5 Las palabras ERRATA y BARBA...

Dentro del repositorio Open Math Notes de la AMS , acaban de subir las notas Linear Algebra, de Andrew D. Hwang . Las notas tienen un nivel más básico que el de su clase de álgebra lineal aquí en la facultad, pero sí les pueden servir como referencia. Las pueden descargar en: Linear Algebra . En el repositorio hay notas de diversos temas. Échenles un vistazo.

La hora de oficina de  Matemáticas discretas se mueve a los martes, de 6 a 7 pm, para evitar el conflicto de horario con el laboratorio de física.

Fecha de entrega: 16 de febrero Problema 1 n niños y  n niñas salen a bailar en parejas, ¿de cuántas formas pueden hacerlo? (Solo parejas niño-niña.) Problema 2 Demuestra combinatóricamente que $latex \displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}.$ Problema 3 Ana tiene 10 pelotas. Primero, las separa en dos grupos (no necesariamente del mismo tamaño). En seguida, toma uno de los dos grupos, que tenga al menos dos pelotas, y lo separa en dos grupos. Así continúa separando cada grupo en dos, hasta que termina con puros grupos de una pelota. ¿Cuántos pasos le toma hacer esto? Muestra que el número de formas distintas en que puede hacer este proceso es $latex \displaystyle \binom{10}{2}\cdot\binom{9}{2}\cdots\binom{2}{2}.$ Problema 4 Demuestra la identidad $latex \displaystyle\binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \binom{n}{3} +\cdots + (-1)^n\binom{n}{n} = 0$ utilizando el principio de inclusión-exclusión. Problema 5 De un grupo de estudiantes, a 23 de ellas les gus...

Due February 16 Problem 1 Let $latex E\subset\R$ with $latex m_*(E)>0$. For each $latex 0 < \alpha < 1$, there exists an open interval  I such that $latex m_*(E\cap I) \ge \alpha |I|$. If E is measurable, the difference set $latex \{x\in\R: x=a-b\text{ for some }a,b\in E\}$ contains an open interval centered at the origin. Problem 2 Let  C be the Cantor set. $latex x\in C$ if and only if $latex \displaystyle x=\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{3^k}$, where $latex a_k=0\text{ or } 2$. The Cantor-Lebesgue function is defined on  C by $latex \displaystyle F(x)=\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{2^{k+1}}$, if $latex \displaystyle x=\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{3^k}.$  F is well-defined, continuous on  C , $latex F(0)=0$ and $latex F(1)=1$, and surjective. Problem 3 Construct a compact set  D in an analogous way as the Cantor set but, at the  k th stage of the construction, we remove $latex 2^{k-1}$ central open intervals of length $latex l_k$, with $latex l_1 + 2l_2 + 4l_3 + \...

Due February 9 Problem 1 The Cantor set is totally disconnected (for any $latex x\not= y\in C$ there is $latex z\not\in C$ between  x and  y ) and perfect (compact and without isolated points). Problem 2 Let $latex E\subset \R$ and $latex O_n = \{x: d(x,E) < 1/n\}.$ If  E is compact, $latex m(E) = \lim_{n\to\infty} m(O_n)$ The previous conclusion may be false for  E  closed and unbounded, or open and bounded. Problem 3 (Borel-Cantelli lemma) Let $latex \{E_k\}$ be a sequence of measurable sets such that $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty m(E_k) < \infty,$ and define $latex E = \limsup_{k\to\infty} E_k = \{x\in\R^d: x\in E_k$ for infinitely many $latex k\}$. E is measurable. $latex m(E) = 0$. Problem 4 Let, for a subset $latex E\subset\R^d$, $latex \displaystyle m_*^R(E) = \inf \sum_{j=1}^\infty |R_j|,$ where the infimum is taken over all countable covers $latex \{R_j\}$ for  E of rectangles. Then $latex m_*^R(E) = m_*(E).$ We can thus conclude that we obtain the s...

Fecha de entrega: 9 de febrero Problema 1 10 personas desean jugar entre ellas ajedrez, en 5 tableros distintos. ¿De cuántas formas pueden hacerlo, si no importa el tablero que usan ni el color de las piezas de cada quien? ¿De cuántas formas pueden hacerlo, si sí importa el tablero, pero no el color? ¿De cuántas formas pueden hacerlo, si sí importa el color, pero no el tablero? ¿De cuántas formas pueden hacerlo, si importan ambas? Problema 2 Considera la codificación binaria de subconjuntos de un conjunto vista en clase. ¿A qué números corresponden los subconjuntos de un solo elemento? ¿A qué número corresponde el conjunto completo? ¿A qué subconjuntos corresponden los números pares? Problema 3 Dibuja un árbol de decisión que ilustre el conteo de sucesión de longitud 2 formadas con los símbolos a , b , y c . Problema 4 En una tienda deportiva se venden playeras de 5 colores distintos, shorts de 4 colores diferentes, y calcetas de 3 colores diferentes. ¿Cuántos uniformes d...