Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 28 de septiembre Lista de problemas tomados de ED Gaughan,  Introduction to Analysis , 5th ed., AMS. Capítulo 4: Diferenciación 8, 18-19, 23-24, 25, 26

Fecha de entrega: 21 de septiembre Lista de problemas tomados de ED Gaughan,  Introduction to Analysis , 5th ed., AMS. Capítulo 4: Diferenciabilidad 6, 7, 16, 17, 38

Fecha de entrega: 14 de septiembre Lista de problemas tomados de ED Gaughan,  Introduction to Analysis , 5th ed., AMS. Capítulo 3: Continuidad 23, 24, 28-29, 30-31, 39

Reinventing the Wheel: The Chaotic Sandwheel , por Anthony Tongen. Conferencia de la semana , jueves 13 de septiembre, 12:00pm. Abstract:  The Malkus chaotic waterwheel, a tool to physically demonstrate Lorenzian dynamics, motivates the study of a chaotic sandwheel. We model the sandwheel in parallel with the waterwheel when possible, noting where methods may be extended and where no further analysis seems feasible at this point. Numerical simulations are used to compare and contrast the behavior of the sandwheel with the waterwheel. Simulations confirm that the sandwheel retains many of the elements of chaotic Lorenzian dynamics. However, bifurcation diagrams show the dramatic differences in the places where the order-chaos-order transitions occur.

El teorema de Lebesgue y aproximaciones a la identidad Problema 23 Sea $E\subset\R^n$ de medida cero. Entonces existe $f\ge 0$ integrable en $\R^d$ tal que, para todo $x\in E$, $\displaystyle \liminf_{r\to 0} \frac{1}{m(B_r(x))} \int_{B_r(x)} f(y) dy = \infty.$ Problema 24 Sea $E\subset[0,1]$ tal que, para algún $\alpha>0$, $m(E\cap I)\ge \alpha m(I)$ para todo intervalo $I\subset[0,1]$. Entonces $m(E) = 1$. Problema 25 Sea $\{K_\delta\}$ una familia de núcleos tales que $\int K_\delta = 0$ para todo $\delta>0$; Existe $A>0$ tal que $|K_\delta(x)| \le \dfrac{A}{\delta^n}$ para todo $\delta>0$; y Existe $A>0$ tal que $|K_\delta(x)| \le \dfrac{A\delta}{|x|^{n+1}}$ para todo $\delta>0$. Entonces, si $f\in L^1(\R^n)$, $f*K_\delta(x) \to 0$ cuando $\delta \to 0$ para casi todo $x$.

La función maximal de Hardy y Littlewood Problema 20 Sea $f\in L^1(\R^n)$ no idéntica a cero. Entonces existe $c>0$ tal que, para todo $|x|\ge 1$, $\displaystyle Mf(x) \ge \frac{c}{|x|^n}.$ En particular, $Mf\not\in L^1$. Problema 21 Sea $f\in L^1$ con soporte en la bola unitaria tal que $\int |f| = 1$. Entonces existe $c'>0$ tal que $\displaystyle m\big(\{ x: Mf(x) > \alpha \} \big) \ge \frac{c'}{\alpha}$ para $\alpha>0$ suficientemente pequeño. Problema 22 Sea $f$ la función en $\R$ dada por $\displaystyle f(x) = \begin{cases}\dfrac{1}{|x|(\log 1/|x|)^2}&|x|\le1/2\\0&|x|>1/2.\end{cases}$ Entonces $f\in L^1$, pero $Mf$ no es localmente integrable.

Fecha de entrega: 7 de septiembre Lista de problemas tomados de ED Gaughan,  Introduction to Analysis , 5th ed., AMS. Capítulo 3: Continuidad 6, 7, 13, 19, 23, 24,