Ricardo A. Sáenz

Tarea 3

Tarea 2

Como tarea para esta semana, leer el primer capítulo del libro de Stein & Shakarchi, Real Analysis , sobre la medida de Lebesgue en $latex \R^n$ (el primer capítulo está disponible en la página del libro: Real Analysis ). Además, resolver los siguientes problemas. Problema 1. Sea $latex E \subset \R^n$ y $latex \mathcal O_n$ el conjunto $latex \mathcal O_n = \{ x: d(x,E) < 1/n \}.$ Si $latex E$ es compacto, entonces $latex m(E) = \lim_{n\to\infty} m(\mathcal O_n)$. Lo anterior puede ser falso si $latex E$ es solo acotado o solo cerrado. Problema 2. Da un ejemplo de un conjunto abierto $latex A\subset\R$ tal que la frontera de su cerradura tiene medida positiva. Problema 3. Sea $latex A\subset[0,1]$ el conjunto de números que no tienen el dígito 4 en su expansión decimal. Calcula $latex m(A)$. Problema 4 (Lema de Borel-Cantelli). Sea $latex \{E_n\}$ una colección contable de conjuntos medibles en $latex \R^n$ tales que $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty m(E_n) < \i

Las notas Some elementary aspects of Hausdorff measure and dimension , escritas por Stephen Semmes de la Universidad Rice, pueden ser útiles como referencia para la clase de Análisis en fractales.

Tarea 1 Los problemas 1 y 2 se refieren a cualquier campo ordenado, mientras que los problemas 3,4 y 5 a los números reales. Noten que el símbolo $latex \ge$ significa $latex =$ ó $latex >$, donde $latex a > b$ significa $latex b < a$, desde luego.

Vamos a necesitar varios estudiantes que deseen realizar su Servicio Social interno ayudando en la coordinación de las actividades de la Conferencia Japón-México de Topología , a finales de septiembre. Por favor, comuníquense conmigo o con Andrés si están interesados.