Ricardo A. Sáenz

Tarea 16

En la Tarea 14 de Análisis Complejo , el Problema 1 pedía mostrar que los lados del cuadrado imagen de la función, definida en $latex \mathbb H$, $latex \displaystyle z \mapsto \int_0^z \frac{d\zeta}{\sqrt{\zeta(\zeta^2 - 1)}}$ tienen longitud $latex \dfrac{\Gamma^2(1/4)}{2\sqrt{2\pi}}$. Todos los que entregaron la solución a este problema mostraron que se reduce a calcular la integral $latex \displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x(1 - x^2)}},$ aunque ninguno mostró cómo evaluarla. En Mathematica , el resultado es indicado como $latex \dfrac{2\sqrt{\pi}\Gamma(5/4)}{\Gamma(3/4)},$ del cual se sigue fácilmente el resultado utilizando las identidades $latex \displaystyle \Gamma(5/4) = \frac{1}{4}\Gamma(1/4) \qquad\text{ y }\qquad \Gamma(1/4)\Gamma(3/4) = \frac{\pi}{\sin \pi/4}.$ En esta nota les doy los detalles de cómo calcular esta integral.

Tarea 15

Tarea 15

Tarea 14

Tarea 14

Tarea 13

Tarea 13

Tarea 12

Tarea 12